V současné době musí nástroj pro navrhování mostů integrovat všechny operace v procesu navrhování, jako je architektonické modelování, plánování a řízení výstavby, statická analýza, návrh prvků a detailů. Podstatnou součástí návrhu nosných prvků je posouzení a prokázání bezpečnosti jednotlivých průřezů na základě národních norem. Předpjaté a železobetonové průřezy odolávají normálovým a posouvajícím silám, ohybovým a krouticím momentům. Účinky jednotlivých vnitřních sil se vzájemně ovlivňují, a navíc v důsledku tahových napětí vznikají trhliny. To vede k nelineární odezvě průřezů. Složitost problému je znásobena tím, že mostní průřezy mají naprosto obecný tvar.
Proces návrhu mostu lze rozdělit do čtyř základních fází. Začíná prvními skicami a ručními výpočty ve fázi koncepčního návrhu, následuje fáze předběžného návrhu, která má potvrdit proveditelnost zvolené koncepce, a fáze podrobného návrhu, v níž se provádí statická a dynamická analýza. Proces návrhu končí fází realizační dokumentace, v níž se navrhnou postupy výstavby a detaily s ohledem na technologii a zkušenosti dodavatele. Jednotlivé činnosti inženýra jsou ve všech stupních projektu víceméně podobné. Musí vytvořit geometrický model konstrukce včetně geometrie předpínacích kabelů, provést statickou analýzu a zpracovat výkresovou dokumentaci. V dnešní době musí být všechny operace procesu navrhování mostů zajištěny v jednom návrhovém nástroji.
Předpjaté a železobetonové 1D prvky odolávají normálovým a posouvajícím silám, ohybovým a krouticím momentům. Účinky jednotlivých vnitřních sil se vzájemně ovlivňují, v důsledku tahových napětí vznikají trhliny a beton v tlaku se stává plastickým, což vede k nelineární odezvě průřezů. Pro zjednodušení problému se v současné praxi stále používají modely založené na oddělení působení ohybu, smyku a krutu. Požadavek na hospodárnější a bezpečnější konstrukce však vyžaduje použití přesnějších řešení.
Proto byly v minulosti vypracovány sofistikované nelineární modely založené na metodě konečných prvků, které jsou však velmi složité a plně neodpovídají předpokladům a požadavkům současně platných norem [1], [2]. V rámci softwarového nástroje pro navrhování mostů ALLPLAN Civil byly vyvinuty obecné metody pro posouzení únosnosti železobetonových a předpjatých 1D prutů s libovolně tvarovanými průřezy, které jsou vystaveny sdruženému působení vnitřních sil. Metody patří do knihovny specializovaných numerických funkcí modulu DCE [5].
Normativní rámce EN a AASHTO LRFD a jejich dopady na posouzení únosnosti
V případě posouzení únosnosti se používají návrhové modely mezního stavu únosnosti (ULS), které zahrnují topologii prvků průřezu. Předpokládáme, že poměrná přetvoření a napětí jsou lineárně závislá na působících vnitřních silách a že platí Navier-Bernoulliho hypotéza o rovinnosti průřezu. Pro smykové a torzní zatížení nelze odpovídající smyková napětí odvodit přímo z geometrie průřezu. Proto byla na základě rovnic lineární pružnosti a dalších předpokladů pro napěťové pole formulována okrajová úloha a pro její řešení byla vyvinuta numerická metoda s použitím variačního principu. V této metodě jsou smyková přetvoření popsána pomocí deformačních deplanačních funkcí a smyková napětí jsou gradienty těchto deformačních funkcí.
Vzhledem k tomu, že rozdělení smykového napětí je vypočteno na základě předpokladu lineární pružnosti, nelze je přímo použít pro vyhodnocení únosnosti ve smyku a kroucení. Lze je však úspěšně použít k určení částí průřezů, které účinně odolávají posouvající síle a kroucení. Geometrie vzdorujících části se určuje zvlášť pro rozdělení smykového napětí způsobené jednotkovými silami Vy, Vz a krouticím momentem T.
Počáteční tvar je odvozen z izolinií intenzity napětí rovné 20 % maximálního napětí. Za účinnou se považuje plocha průřezu uvnitř izolinie. V případě posouvajících sil algoritmus identifikuje části, které účinně odolávají svislým (y) nebo vodorovným (z) posouvajícím silám. V případě, že se více než 80 % účinné plochy překrývá s jinou účinnou plochou (její částí), považuje se za účinnou z hlediska odolnosti proti výslednici sil Vy a Vz integrované přes danou plochu.
Parametry pro výpočet smykové odolnosti, jako je účinná výška, rameno vnitřních sil a minimální šířka, se počítají pro každou vzdorující část průřezu zvlášť. Rameno vnitřních sil se vypočítá jako vzdálenost mezi horním a dolním pásem náhradního příhradového modelu promítnutá do střednice vzdorující části. Po určení vzdorujících částí se vypočítají příslušné posouvající síly a krouticí momenty, kterým má každá část průřezu odolávat. Nejprve se integruje lineárně-pružné smykové napětí způsobené jednotkovými silami Vy, Vz, a T v dané vzdorující části.
Integrované hodnoty představují části celkové síly, které odolává celý průřez. Protože vzdorující části nepokrývají celou plochu průřezu, je třeba je úměrně zvětšit tak, aby jejich součet dosáhl jednotkové hodnoty. Tímto způsobem se vypočítají součinitele, které představují poměr mezi silou, jíž musí daná část odolávat, a silou, jíž musí odolávat celý průřez.
Směr posouvajících sil působících na vzdorující část se může lišit od směru střednice dané části průřezu. Proto se posouvající síla transformuje do směru střednice, což je směr vzdorující síly (únosnosti). Složka kolmo ke střednici se zanedbává. Dále se určí smyková a podélná výztuž účinná proti smyku a kroucení. Výztuž musí být především umístěna uvnitř vzdorující části. Pokud větve třmínků dosáhnou s určitou přesností polohy horních a dolních pásů, pokládá se zakotvení smykové výztuže za dostatečné. Třmínková výztuž účinná v kroucení musí být uzavřená, musí být uvnitř vnější hranice části vzdorující kroucení a musí obepínat její vnitřní hranici.
Kromě toho musí uživatel programu uvést informaci o tom, zda jsou třmínky a podélná výztuž účinné ve smyku a kroucení. Automatická indikace není možná z důvodu zjednodušení používaných v ULS návrhových modelech. Smyková únosnost v diagonální trhlině se snižuje v důsledku sklonu (částí) větví třmínků vzhledem k ose průřezu příčně ke směru posouvající síly. Pokud jsou třmínky uzavřeného tvaru identifikovány jako neúčinné, je proveden pokus o sloučení třmínků do tvaru, který lze považovat za účinný. Všechny třmínky musí mít stejný průměr, vzdálenost a materiál.
Model MCFT a dvouosý element
Norma EN [2] používá Navier-Bernoulliho hypotézu o rovinnosti průřezu pro kombinaci normálové síly a ohybového momentu a model příhradové analogie s proměnným úhlem diagonál pro smyk a kroucení v případě, že se objeví smykové trhliny. Z trojúhelníku sil je možné odvodit tři podmínky rovnováhy elementu se čtyřmi neznámými: tlakové napětí v betonu, tahová napětí v podélné výztuži a třmíncích a úhel Ø. Běžně používaným řešením je zvolit úhel v rozmezí od 21,8° do 45°. Základem pro posouzení síly v podélné výztuži je odezva průřezu na působící normálovou sílu a ohybové momenty vyjádřená průběhem poměrných přetvoření a napětí po průřezu.
Tahová síla (Fs + ΔFp) způsobená výslednicí posouvající síly a krouticího momentu působícího v příslušné vzdorující části je rovnoměrně rozložena na pruty výztuže nacházející se uvnitř vzdorující části. Tato síla je aplikována prostřednictvím poměrného přetvoření výztuže s ohledem na nelineární vztah napětí - přetvoření výztuže. Proto se na straně bezpečné předpokládá, že beton v tlaku od ohybu není odlehčen tahovou silou způsobenou smykem nebo kroucením.
Posouzení únosnosti průřezů při sdruženém působení všech složek vnitřních sil podle normy AASHTO LRFD [1] je založeno na kombinaci dvou modelů. První model představuje jednoosý element zatížený normálovou silou a ohybovými momenty, druhý model je dvouosý element diagonálně porušený trhlinami, který odolává smyku a normálovému napětí v rovině elementu. Základem metody je určení stavu napětí ve dvouosém elementu pomocí modifikované teorie tlakových polí (MCFT).
MCFT vede ke třem podmínkám rovnováhy. Podobně jako v normě EN [2] se předpokládá nelineární odezva materiálů. Na rozdíl od normy EN jsou použity dvě podmínky kompatibility přetvoření založené na Mohrově kružnici. Pro předpjatý průřez tedy získáme pět rovnic pro pět neznámých: tlakové napětí v betonu, tahová napětí v podélné výztuži, předpínací výztuži a třmíncích a úhel sklonu tlakových diagonál Ø.
Určení odezvy dvouosého elementu s největším průměrným smykovým napětím je prvním krokem řešení. Odhadne se přetvoření v hlavním tahu ε1 a úhel sklonu tlakových diagonál (vzpěr). Poté se iterací roviny přetvoření vypočítá napětí v třmíncích a odpovídající deformační veličiny, tak aby byla zajištěna rovnováha mezi výslednicí smykového napětí a vnější posouvající silou působící na danou vzdorující část.
Ve druhém kroku se iteruje křivost φ jednoosého elementu, resp. úhel Ø, tak, aby byla zajištěna rovnováha mezi výslednicí normálového napětí a vnějším ohybovým momentem, resp. normálovou silou působící na celý průřez. Výsledná sada deformačních veličin (ε1, Ø, φ, εCEN) je v souladu s působícími vnitřními silami, ale ještě nevyjadřuje mezní stav průřezu. Volbou jiných hodnot přetvoření v hlavním tahu lze vypočítat různé sady deformačních veličin se stejnými výslednými ohybovými momenty a normálovou silou a různou posouvající silou.
Únosnost dvouosého elementu ve smyku při sdruženém působení ostatních vnitřních sil lze pak zjistit jako maximální posouvající sílu vypočtenou pro řadu odhadů přetvoření betonu v hlavním tahu ε1. S využitím předpokladu Navier-Bernoulliho kompatibility přetvoření se vypočítá poměrné přetvoření betonu v podélném směru dosažené v ostatních dvouosých elementech a ověří se odpovídající napětí v betonu a oceli v důsledku působících posouvajících sil.
Na rozdíl od řešení založeného na EN [2] musí být superpozice výsledných smykových sil způsobených krouticím momentem a posouvající silou provedena ve vzdorující části před spuštěním výše popsaných vnořených iterací. Krouticí moment se převede na efektivní smykovou sílu v každé stěně (vzdorující části). Kromě toho se vzdálenost šikmých trhlin určuje na základě charakteristik podélné a příčné výztuže.
Verifikace metod a výsledky
Vzhledem k nedostatku numerických nebo experimentálních dat byla provedena verifikace metody, při které byly výsledky zkušebních příkladů ověřeny vzájemným porovnáním s ohledem na logiku chování průřezu vyplývající z předpokladů řešení. Jedním z příkladů je průřez tvaru T se dvěma vrstvami výztuže s plochou výztuže 6 434 mm2 v horní a 2 413 mm2 ve spodní vrstvě. Průřez byl zatížen kombinací posouvající síly Vy = 2 000 kN a ohybového momentu Mz = ‑3 000 kNm, který táhne horní vlákna. Odezva průřezu byla vypočítána na základě normy EN [2] a výsledky jsou uvedeny na obr. 5a.
V případě výpočtů podle AASHTO LRFD [1] odolává upravený průřez jednoosého elementu ohybovému momentu při stavu napětí. Působící vnitřní síly stále nepředstavují skutečné mezní zatížení. Statická věta říká, že skutečné mezní zatížení je největší ze všech zatížení, která způsobují staticky přípustné rozložení napětí. Průřez však musí být zároveň navržen tak, aby kapacita přetvoření nebyla nikde překročena dříve, než je dosaženo očekávaného rozložení napětí.
Pro zjištění skutečného mezního zatížení ve smyku byly provedeny výpočty podle normy AASHTO LRFD, při nichž byla napjatost iterována pro různé hodnoty přetvoření v hlavním tahu. Byly stanoveny výslednice posouvající síly odpovídající každé hodnotě přetvoření. Maximální únosnost průřezu ve smyku pak lze zjistit jako maximum těchto výslednic.
Podle EN [2] jsou výsledné síly Vr stanoveny pro konkrétní stav napětí. Graf Vr ukazuje bod iniciace trhliny a následnou mobilizaci výztuže; maximální únosnost ve smyku dosahuje 3 370 kN. Výslednice posouvající síly pro různé úrovně ohybu jsou znázorněny v grafu obr. 7. Z grafu vyplývá, že celková únosnost ve smyku není výrazně ovlivněna současně působícím ohybovým momentem až do dosažení 40 % Mr; pro 20 % Mr je únosnost ještě vyšší než pro nulový ohybový moment.
Podle statické a kinematické věty lze skutečné mezní zatížení ve smyku považovat za maximum výslednic posouvajících sil vždy ve vrcholech příslušných křivek. Byly sestrojeny grafy Vr pro různé momenty Mr a byly popsány součinitele odolnosti proti smyku a kroucení. Výsledky potvrzují platnost MCFT a jeho použití pro posouzení dvouosého elementu s ohledem na sdružené účinky.
Verifikace a aplikace na praktické případy
Pro verifikaci byly použity zkušební příklady a porovnány výsledky s ohledem na logiku chování průřezu. Jeden z příkladů: T průřez se dvěma vrstvami výztuže; parabolicko-rektangulární diagram pro beton s modulus 32 000 MPa, pevnost v tlaku 35 MPa a pevnost v tahu 3,5 MPa; výztuž s mezí kluzu 500 MPa a mezí pevnosti 535,8 MPa. Zatížení Vy = 2 000 kN a Mz = ‑3 000 kNm. Odezva podle EN [2] a následně podle AASHTO LRFD [1] byla interpretována a porovnána.
Ověření ukazuje souvislost mezi modely a realitou, a to i přesto, že skutečné mezní zatížení může vyžadovat další iterace a zohlednění reologických účinků. Potenciál metody MCFT a její integrace do návrhových nástrojů podporuje přesnější posouzení sdruženého působení složek vnitřních sil a identifikaci vzdorujících částí průřezů.
- Identifikace vzdorujících částí průřezu pro smyk a kroucení.
- Transformace posouvající síly na směr střednice vzdorující části.
- Iterační řešení pro ε1, Ø a φ v rámci dvouosého elementu.
- Verifikace numerickými a experimentálními daty.
- Integrace metody MCFT do softwarových nástrojů pro návrh mostů.