Na vyhodnocování stavu porušení, případně plasticity betonu u rovinných úloh nestačí pouze pracovní diagram pro jednoosý stav napjatosti. Problém se řeší formulováním dvojrozměrné podmínky porušení a plasticity. Podmínky betonu musí respektovat odlišné chování betonu při namáhání tlakem a tahem.
Pro uvedený problém bylo postupně formulováno několik podmínek, které jsou definovány pro dva a více parametrů [8, 9]. Pro pružnoplastické konstitutivní modely betonu jsou nejznámější podmínky, které navrhl Chen [1] a Willam a Warnke [16]. K vyhodnocení dosažení meze porušení betonu je zase rozšířená Kupferova podmínka [5] nebo modifikovaná podmínka von Mises. Příspěvek se zabývá blíže srovnáním Chen-Chenovy podmínky [2] a doporučením dle CEB-FIB Model Code 90 [3].
CEB-FIB Model Code 90 a jeho vhodnost pro rovinné úlohy
Vhodnou možností vyhodnocení stavu betonu u rovinných úloh je použití doporučení uvedeného v CEB-FIB Model Code 90 [3]. Podmínka vznikla na základě experimentů. Parametry podmínky CEB‑FIB Model Code 90 jsou jednoosá pevnost betonu v tlaku fuc a v tahu fut. Hodnota dvouosé pevnosti betonu v tlaku se uvažuje 1,2 fuc. Pro formulování a vyhodnocení podmínky se vychází z předpokladu, že platí σ1 > σ2. Pomocný součinitel se vypočte α = σ1 / σ2.
Pro pružnoplastické konstitutivní modely betonu je vhodná například podmínka, kterou navrhl Chen [2]. Chen-Chenova podmínka porušení a plasticity byla formulována na základě experimentů provedených Kupferem [5]. Podmínka je tedy definována pomocí mezí plasticity materiálu v jednoosém tlaku fyc, mezí plasticity ve dvojosém tlaku fybc a mezí plasticity v jednoosém tahu fyt. Podmínka porušení je pro namáhání tah-tah omezena pevností betonu v tahu.
Numerické porovnání a aplikace na vysoký nosník
Numerická studie srovnává v rovině hlavních napětí podmínky porušení pro vybraný model betonu, který má v jednoosém tlaku pevnost 20 MPa. Modul pružnosti betonu je 30 GPa a Poissonův součinitel 0,2. Grafické vyhodnocení zvolených podmínek porušení v rovině hlavních napětí je zobrazeno na obr. Druhou částí numerické studie je srovnání Chen-Chenovy podmínky pro porušení [1] a doporučení dle CEB-FIB Model Code 90 [3] u výpočetního modelu, který tvoří vysoký nosník.
Zatížení tvoří sedm bodových sil na horním okraji. Rozměry vysokého nosníku jsou 3 m × 1 m. Poloha zatížení a okrajových podmínek jsou patrné z výpočetního modelu na obr. 2. Délka uložení je 0,3 m a tloušťka konstrukce je 0,2 m. Výpočetní model tvoří pravidelná síť izoparametrických konečných prvků se čtyřmi integračními body, ve kterých se vyhodnocovaly podmínky pro beton. Výpočetní model tvoří 900 konečných prvků ve tvaru obdélníků. Průběh normálových napětí je zobrazen na obr.
Grafické vyhodnocení podmínek u vysokého nosníku je znázorněno na obr. Dále je uvedená studie parametrů počáteční podmínky plasticity. Zvolený pružnoplastický model betonu kombinuje Chen-Chenovu podmínku plasticity [1] a model zpevnění vypracovaný Ohtanim [7]. Uvedený konstitutivní model betonu je implementován v software BSA vyvíjeném na VŠB-TU Ostrava [14, 15].
Parametry a scénáře počáteční podmínky plasticity
Chen-Chenova podmínka plasticity [1] je definována pomocí mezí plasticity materiálu. Pro použití konstitutivního modelu betonu je také nutné definovat podmínku porušení, která se získá z pevnosti betonu v jednoosém tlaku fuc, pevnosti betonu v dvojosém tlaku fubc a pevností betonu v jednoosém tahu fut. Hodnoty koeficientu a se nejčastěji volí od 0,3 [2] až 0,5 [13].
Parametrická studie je provedena pro pět vybraných hodnot koeficientu α. Počáteční plocha plasticity, následné plochy plasticity a plocha porušení jsou zobrazeny v rovině hlavních napětí na obr. 6. Modelovaným experimentem byl železobetonový nosník zatížený dvěma silami. Zvolený experiment provedli Gaston, Siess a Newmark [4].
Nosník je z betonu o pevnosti v tlaku 32,3 MPa. Modul pružnosti betonu Ec je 27,1 GPa a Poissonův součinitel 0,17. Výpočet je proveden postupně pro koeficient α s hodnotou 0,3, 0,35, 0,4, 0,45 a 0,5, který se použil k výpočtu parametrů (10), (11), (12) počáteční podmínky plasticity. Stupeň vyztužení ρ železobetonového průřezu vztažený k efektivní výšce průřezu je 0,0062. Pracovní diagram výztuže se předpokládá ideálně pružnoplastický. Mez kluzu oceli fy je 323,6 MPa a modul pružnosti Es je 198,0 GPa.
Rovinný výpočetní model [11] je prezentován na obr. 8. Porovnáním experimentu a výsledků numerických výpočtů je možné konstatovat, že ve většině výpočtů je mírně nadhodnocena počáteční tuhost výpočetního modelu. Pouze u výpočtu pro α = 0,30 je tuhost výpočetního modelu mírně podhodnocená. Dále je při zatěžování rozdíl pracovních diagramů numerických výpočtů a experimentu malý. Celkový průběh pracovního diagramu experimentu a maximální únosnost nosníku nejlépe vystihuje výpočet pro α = 0,45.
Uvedené podmínky mohou být využity při návrhu konstrukcí pro ověřování mezního stavu použitelnosti a analýz konstrukčních detailů, kde je nutné ověřit vznik trhlin betonu.
Porovnání podmínek a závěry pro rovinné stavy napětí
Z grafického porovnání podmínek porušení pro beton v rovině hlavních napětí vyplývá, že modifikovaná podmínka von Mises podhodnocuje pevnost betonu v tlaku a oblasti namáhané tahem nadhodnocuje. Podmínka definovaná CEB-FIB Model Code 90 respektuje vlastnosti betonu v tlaku a tahu a je definována pouze pro dva vstupní parametry. Chenova podmínka také dobře vystihuje chování betonu, kdy je nezbytné určit tři vstupní parametry; třetí parametr je pevnost betonu v dvouosém tlaku. Chenova podmínka ve srovnání s ostatními podmínkami podhodnocuje pevnost betonu v tahu.
Pro příklad vysokého nosníku byla oblast porušení pro Chenovu podmínku a podmínku dle doporučení CEB-FIB podobná. Příspěvek se dále zabýval volbou parametrů počáteční podmínky plasticity u pružnoplastické analýzy železobetonových konstrukcí. Projekt byl realizován za finanční podpory ze státního rozpočtu ČR prostřednictvím Studentské grantové soutěže na VŠB - Technické univerzitě Ostrava.
Praktické poznámky uvádějí, že CSFM (Compatible Stress Field Method) vznikla rozšířením klasických teorií, umožňuje vysokou míru automatizace a je v souladu s návrhovou normou. CSFM je moderní nelineární metoda pro analýzu D-oblastí a prvků, jejichž působení lze zjednodušit na rovinnou napjatost, tedy 2D model. Dílčí zjednodušení umožňují použít jednoduché pracovní diagramy pro beton v tlaku a tahu a zohlednit tlakové změkčení a ztužující účinek výztuže mezi trhlinami.
Praktické ukázky a ilustrace CSFM
Princip CSFM lze ilustrovat na napjatosti zhlaví hlavice mostního pilíře: horizontální tlak σx, vertikální tlak σy a smykové napětí τxy vedou k hlavním napětím σ1, σ2 a jejich sklonu θ. Žádné tahové napětí v hlavní ose σ2 nepřenáší beton, zatímco tahová napětí σ1 musí být přenesena výztuží. Fiktivní beznapěťová rotující trhlina a kompatibilní napěťové pole zajišťují realistické chování v 2D modelu.
Analýza se provádí pomocí 2D izoparametrických prvků pro beton a 1D prutových prvků pro výztuž, řešení pomocí Newton-Raphsonovy metody a postupné zatěžování. Výsledkem je kompatibilní napěťové pole a přetvoření v celé 2D oblasti, s tím že pevnost betonu v tahu se do únosnosti nepočítá, ale tlakově-křehký efekt a tension stiffening se zohledňují prostřednictvím diagramů a efektivní tlakové pevnosti.
U nosníku s třemi poli a rozestupy 30, 42, 30 m byly ukázány hlavice a souhrnné posouzení mezních stavů únosnosti se zobrazením tlakových napětí a využití výztuže. Detailnější průběhy napětí v betonu a ve výztuži jsou dokumentovány na obr. 7b a 7c. Při posouzení mezních stavů použitelnosti se CSFM ukazuje jako vhodná pro inženýrskou praxi díky jednoduchosti a možnosti používat standardní materiálové modely v návrhové normě.
Příloha: kontext a ostatní směry výzkumu
Projekt dále zmiňuje, že CSFM byla vyvinuta díky práci profesora Waltera Kaufmanna a že její principy jsou obecné a lze je využít i pro modelování celých prvků či prefa dílců, kde lze prvek zjednodušit na rovinný 2D model. Verifikace metody včetně experimentů jsou uvedeny v [1].
Diskuse a praktické doporučení pro inženýrskou praxi
Meze porušení podle CEB-FIB Model Code 90 respektují tlakové i rovinné tahové chování betonu a jsou vhodné pro dva vstupní parametry. Chen-Chenova podmínka vyžaduje tři parametry a její použití může vést k podhodnocení pevnosti v tahu ve srovnání s ostatními podmínkami. U vysokého nosníku byla oblast porušení podle Chen-Chenovy podmínky a CEB-FIB obdobná, přičemž α = 0,45 nejlépe vystihovalo celkový průběh a maximální únosnost nosníku. Modifikovaná von Mises podmínka podhodnocuje tlakovou pevnost a nadhodnocuje tahem namáhané oblasti, zatímco CEB-FIB Model Code 90 poskytuje vyvážený a praktický rámec pro rovinné úlohy.
Projekt ukazuje význam volby počáteční podmínky plasticity v pružnoplastické analýze železobetonových konstrukcí a demonstruje, že správná volba α ovlivňuje shody s experimentem při různých konfiguracích zatížení. Uvedené výsledky poskytují podporu pro návrh konstrukcí pro ověřování mezního stavu použitelnosti a analýzu detailů, kde je důležité ověřit vznik trhlin betonu.
Poděkování a referenční zdroje
- Podpora z veřejných zdrojů ČR prostřednictvím Studentské grantové soutěže na VŠB-TUO.
- [1] Chen, A. C. T., Chen, W. F.: Constitutive Relations for Concrete.
- [2] Chen, W. F.: Plasticity in Reinforced Concrete. Mc.
- [3] CEB‑FIP Model Code 1990: Design Code. Comite Euro-International du Beton, 1993.
- [4] Gaston JR, Siess CP, Newmark NM.: A layered finite element non-linear analysis of reinforced concrete plates and shells.
- [5] Kupfer H., Hilsdorf H., K., Rüsch H.: Behaviour of Concrete Under Biaxial Stress, ACI.
- [7] Ohtani, Y., Chen, W. F.: Multiple Hardening Plasticity for Concrete Materials.
- [11] Rombach, G.: Anwendung der Finite-Elemente-Methode im Betonbau.
- [14] Sucharda, O., Brožovský, J.: Pružnoplastické modelování železobetonového nosníku: implementace a srovnání s experimentem.
Článek se zaměřuje na srovnání vybraných podmínek porušení a plasticity betonu v kontextu rovinných úloh, ukazuje praktickou implementaci v programovém prostředí a rozebírá vliv počátečních podmínek plasticity na výsledky numerických analýz.